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centre de poussée $C$

On ne peut chercher le centre de poussée que s'il existe c-à-d que si  $\vec F \bot \vec I \kern-4.5pt M_O$. On ne va donc considérer que certaines composantes à savoir : $F_z$,  $I \kern-4.5pt M_{Ox}$ et  $I \kern-4.5pt M_{Oy}$.
Déterminons la position du centre de poussée $C$ situé dans le plan du tripale au même niveau que $O$ :  $\vec{OC} = a\vec x + b\vec y$ qui est caractérisé par :

 $$\displaylines{ \vec I \kern-4.5pt M(C) = \vec 0 \quad\Longrig... ...[ 4 \frac {\Omega^2}{V^2} I + 2 S \right]} \end{array}\right. }$$

Vu que  $I \kern-4.5pt M_{Ox}$,  $I \kern-4.5pt M_{Oy}$ sont fonction de $\psi$ ($F_z$ n'est pas fonction de $\psi$), la position du centre de poussée va évoluer en fonction de $\psi$ : $b(\psi)$ et $a(\psi)$.
Jérome Royo (Champion de France 2007)  a eu l'idée (cf magasine Profil n$^{\circ}$21) de connaître la position du centre de poussée lors d'un tour du boomerang. On peut alors connaître avec ce qui précède la position de $C$ sur 1 tour (ou plutôt sur 1/3 de tour) mais on s'aperçoit qu'elle dépend des valeurs de $\Omega$ et $V$ pour un tripale donné !

Evolution de la position du centre de poussée sur un tiers de tour d'un tripale ... ( défini par largeur de pale $c=30$ mm, rayon maxi $R=160$ mm et mini $r_0=10$ mm ) ... pour une vitesse linéaire $V=12$ m.s$^{-1}$ et pour 2 vitesses de rotation différentes $\Omega=15$ tr/s (en haut $\frac {V}{\Omega} \approx 0.127$ m) et $\Omega=20$ tr/s (en bas  $\frac {V}{\Omega} \approx 0.095$ m)

En considérant les valeurs moyennes des efforts, la position moyenne du centre de poussée est donnée par :

 $$\displaylines{ \vec{OC}_{moy} = b_{moy} \vec y \quad\mbox{ave... ... = \frac 1 {\frac{\Omega} V + \frac {S}{2I}\frac {V}{\Omega}} }$$

Pour une pale rectangulaire où $R\approx 15.8$ cm et $r_0 \ll R$ on a :

 $$\frac S {2I} \approx \frac{3}{2R^2} = 60 \mbox{ m$^{-2}$}$$

On peut alors examiner la position moyenne du centre de poussée est fonction du rapport  $\frac V {\Omega}$ exprimé en m.

Le maximum de cette courbe situé pour  $\frac V {\Omega} \approx 0.13$ m laisse prétendre qu'il existe une valeur optimum de ce rapport qui donnera un centre de poussée le plus éloigné possible ($6.4$ cm soit 4/10^ème de $R$) du centre de gravité $O$ donc un effet gyroscopique plus important bien qu'il faille faire attention à ce genre de phrase ! La comparaison doit être faite avec des termes constants !
Pour avoir une idée :

• si $\Omega=15$ tr/s alors ce maximum est pour $V\approx 12$ m/s $\approx 44$ km.h$^{-1}$. A cette vitesse linéaire, un tripale d'une portée de 20 m ($2.rayon$) parcours environ 62 m ($2\pi.rayon$) en un temps de 5.1 s soit 58 vols lors d'un round d'endurance de 5mn, sans compter les temps de transition !
• si $\Omega=20$ tr/s alors ce maximum est pour $V\approx 16.3$ m/s $\approx 59$ km.h$^{-1}$. A cette vitesse linéaire, un tripale d'une portée de 20 m ($2.rayon$) parcours environ 62 m ($2\pi.rayon$) en un temps de 3.85 s soit 78 vols lors d'un round d'endurance de 5mn, sans compter les temps de transition !

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