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Moment en $O$

Le moment en $O$ de la force  $\mbox{d}\vec F_i$ possède une composante sur $\vec z$ qui provient de $\mbox{d}T_i$ et des composantes suivant $\vec x$ et $\vec y$ qui proviennent de $\mbox{d}P_i$ :

$$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M_i(O) = -r \mbox{d}P_i \vec e_{\theta i} - r \mbox{d}T_i \vec z$$

et le moment en $O$ de la force élémentaire exercée sur l'ensemble des surfaces élémentaires analogues des 3 pales.

 $$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O) = \sum_{i=1}^3 \mbox{d}\vec I ... ... e_{\theta i} + \vec z \> \mbox{d}k \sum_{i=1}^3 V_{\infty\>i}^2 \end{eqnarray*}$$

Effectuons les 2 sommes une à  une :
la seconde :

 $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 V_{\infty\>i}^2 &=& (\Omega r + V \sin\psi)^2 ... ...^2\psi + \sin^2\psi) ] \\ &=& [3\Omega^2 r^2 + \frac {3V^2} 2 ] \end{eqnarray*}$$

ce qui nous donne :

 $$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O) \cdot \vec z = -[3\Omega^2 r... ...x \left[ 3\Omega^2 r^2 + \frac {3V^2} 2 \right] r \> \mbox{d}S$$

puis la première :

 $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^3 V_{\infty\>i}^2 \vec e_{\theta i} &=& (\Omega r... ... \sin\psi \sqrt 3 ) \\ \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y)} \\ \end{eqnarray*}$$

Calculons chacune des composantes de ce vecteur :

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O)\cdot\vec x}{-rf\>\mbox{d... ...mega r} V \right]}_{f(\psi,\frac{\Omega r} V)} r \>\mbox{d}k \\ \end{eqnarray*}$$

Cette composante de moment élémentaire varie autour d'une valeur moyenne :

 $$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O)_{moy}\cdot\vec x = 3 f V \Om... ...^2 \>\mbox{d}k = \frac 1 2 \rho C_z 3 V \Omega r^2 \>\mbox{d}S$$

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O)\cdot\vec y}{-rf\>\mbox{d... ...nderbrace{(4\sin^2\psi - 1)\cos\psi}_{f(\psi)} r \>\mbox{d}k \\ \end{eqnarray*}$$

Cette composante de moment élémentaire varie autour d'une valeur moyenne nulle du fait de l'hypothèse sur la position du centre de poussée sur le profil ( $\vec {OP}= r \vec e_r$) : c'est cette composante de moment qui a tendance à  faire monter ou descendre le tripale suivant la position de ce centre de poussée sur le profil.

En considérant les valeurs moyennes de  $\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O)$, on peut évaluer (la valeur moyenne) du moment en $O$ de l'action de l'air sur l'ensemble du tripale :

 $$\begin{eqnarray*} \vec I \kern-4.5pt M(O) &=& \int_{r_0}^R \mbox{d}\vec I \kern-... ...3 2 \rho C_x \left[ \Omega^2 Q + \frac {V^2} 2 A \right] \vec z \end{eqnarray*}$$

On remarque à  nouveau l'expression des moments "quintique" $Q$, quadratique $I$ et statique $A$ d'une pale $i$.

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