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Force

Il faut alors faire la somme des forces élémentaires sur tout le boomerang. 

Pour effectuer cette somme regroupons les forces élémentaires exercées sur chacune des 3 pales :

 $$\mbox{d}\vec F = \mbox{d}\vec F_1 + \mbox{d}\vec F_2 + \mbox... ...+ \mbox{d}P_1 \vec z + \mbox{d}P_2 \vec z + \mbox{d}P_3 \vec z$$

projettons dans la base  $(\vec x,\vec y,\vec z)$ :

 $$\displaylines{ \vec e_{\theta_1} = \left(\begin{array}{c} \co... ...+ \sin\psi \sqrt 3 ) \\ \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y)} }$$

soit pour la force élémentaire sur les 3 pales :

 $$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F &=& - \mbox{d}T_1 \left(\begin{array}{c} -\sin\... ...rac V 2 (\cos\psi\sqrt 3 + \sin\psi))^2 ] \end{array}\right) \\ \end{eqnarray*}$$

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec x$ est :

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec F \cdot \vec x}{\mbox{d}k} &=& (\Omega r ... ...^2\psi - 9\cos^2\psi) \sin\psi + 6 \Omega r V \right] \mbox{d}k \end{eqnarray*}$$

Le premier terme de cette composante de force varie autour d'une valeur moyenne nulle alors que le second est constant quelque soit l'angle $\psi$.

 $$(\mbox{d}\vec F \cdot \vec x)_{moy} = 3 \Omega r V \mbox{d}k = \frac 3 2 \rho C_x \Omega V r \> \mbox{d}S$$

Cette composante de force a tendance (entre autres) à freiner la translation du boomerang.

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec y$ est :

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec F \cdot \vec y}{\mbox{d}k} &=& -(\Omega r ... ...os^2\psi -9 \sin^2\psi ) -6\Omega r V \sin\psi \right] \mbox{d}k \end{eqnarray*}$$

Cette composante de force varie autour d'une valeur moyenne nulle.

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec z$ est :

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec F \cdot \vec z}{f \mbox{d}k} &=& ( \Omega... ...frac 3 2 \rho C_z ( \Omega^2 r^2 + \frac 1 2 V^2 ) \> \mbox{d}S \end{eqnarray*}$$

On remarque essentiellement que cette composante de force élémentaire ne dépend pas de $\psi$ !
Cette composante de force est à l'origine de l'effet gyroscopique.

Nous avons obtenu la force élémentaire moyenne (sur 1 tour) exercée sur l'ensemble des surfaces élémentaires analogues des 3 pales.
Pour obtenir la force globale sur le tripale, il suffit d'intégrer chacune des composantes :

 $$\begin{eqnarray*} (\vec F \cdot \vec x)_{moy} = \int_{r_0}^R \frac 3 2 \rho C_x ... ...V \int_{r_0}^R r \> \mbox{d}S = \frac 1 2 \rho C_x \Omega V (3A) \end{eqnarray*}$$

 $$\begin{eqnarray*} \vec F \cdot \vec z &=& \int_{r_0}^R \frac 3 2 \rho C_z ( \Ome... ...frac 1 2 \rho C_z \left( \Omega^2 3I + \frac 1 2 V^2 3S \right) \end{eqnarray*}$$

où $I$, $A$, et $S$ désignent respectivement les moments quadratique et statique et la section d'une pale et $3I$, $3A$ et $3S$ les moments quadratique et statique et la section du tripale.
Rem : On retrouve cette notion de moments quadratique et statique "Résistance des Matériaux".

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