Force

Il faut alors faire la somme des forces élémentaires sur tout le boomerang en sachant que :

$\psi \in \left[ -\frac{\pi} 6 ; \frac{\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_2$ et $\mbox{d}\vec F_3$ existent ;

$\psi \in \left[ \frac{\pi} 6 ; \frac{3\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_2$ existe ;

$\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_1$ et $\mbox{d}\vec F_2$ existent ;

$\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_1$ existe ;

$\psi \in \left[ \frac{7\pi} 6 ; \frac{9\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_1$ et $\mbox{d}\vec F_3$ existent ;

$\psi \in \left[ \frac{9\pi} 6 ; \frac{11\pi} 6 \right]$ seul $\mbox{d}\vec F_3$ existe.

En sachant qu'il sera inutile d'effectuer cette somme sur 1 tour complet car les phénomènes se répètent sur 1/3 de tour. On va s'intéresser à l'évolution de cette force sur les 2 plages $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ et $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ où n'interviennent que les pales 1 et 2. Pour effectuer cette somme regroupons les forces élémentaires exercées sur chacune des 3 pales :

$\begin{displaymath} \mbox{d}\vec F = \mbox{d}\vec F_1 + \mbox{d}\vec F_2 = - \... ...\mbox{d}T_2 \vec e_{r_2} + (\mbox{d}P_1 + \mbox{d}P_2) \vec z \end{displaymath}$

$\begin{displaymath}\displaylines{ \vec e_{r_1} = \left(\begin{array}{c} \cos\psi... ...cos\psi - \sin\psi ) \\ \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y)} }\end{displaymath}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F &=& - \mbox{d}T_1 \left(\begin{array}{c} \cos\p... ...{c} 0 \\ 0 \\ \mbox{d}P_1 + \mbox{d}P_2 \end{array}\right) \\ \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F \cdot \vec x &=& - \mbox{d}k V_{r\>1}^2 \cos\p... ... &=& - \cos^3\psi + \frac 1 8 ( \cos\psi + \sqrt 3 \sin\psi )^3 \end{eqnarray*}$


$\begin{figure}\begin{center}\setlength{\unitlength}{0.240900pt} \ifx\plotpoin... ...int}} \put(1439,645){\usebox{\plotpoint}} \end{picture} \end{center}\end{figure}$	Sur ce graphe, il faut voir la courbe sur les pales 1 et 2 pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ puis la courbe sur la pale 1 pour $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ : on remarque la continuité des 2 courbes en $\frac{5\pi} 6$ .

Donc pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ : $\mbox{d}\vec F \cdot \vec x = \left( - \cos^3\psi + \frac 1 8 ( \cos\psi + \sqrt 3 \sin\psi )^3 \right) V^2\mbox{d}k$
et pour $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ : $\mbox{d}\vec F \cdot \vec x = - \cos^3\psi V^2 \mbox{d}k$
On déduit du tracé que : $\mbox{d}\vec F_{moy} \cdot \vec x \approx 0.65 V^2 \frac 1 2 \rho C_x \> \mbox{d}S$
puis : $\vec F_{moy} \cdot \vec x \approx 0.65 \frac 1 2 \rho S C_x V^2$
où

est toujours la surface d'une pale.

$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F \cdot \vec y &=& - \mbox{d}k V_{r\>1}^2 \sin\p... ... \cos\psi + \sqrt 3 \sin\psi )^2 ( \sqrt 3 \cos\psi - \sin\psi ) \end{eqnarray*}$


$\begin{figure}\begin{center}\setlength{\unitlength}{0.240900pt} \ifx\plotpoin... ...int}} \put(1439,599){\usebox{\plotpoint}} \end{picture} \end{center}\end{figure}$	Sur ce graphe, il faut voir la courbe sur les pales 1 et 2 pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ puis la courbe sur la pale 1 pour $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ : on remarque la continuité des 2 courbes en $\frac{5\pi} 6$ .

Donc pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ : $\mbox{d}\vec F \cdot \vec y = - \left[\cos^2\psi \sin\psi + \frac 1 8 ( \cos\psi + \sqrt 3 \sin\psi )^2 ( \sqrt 3 \cos\psi - \sin\psi )\right] V^2 \mbox{d}k$
et pour $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ $\mbox{d}\vec F \cdot \vec y = - \cos^2\psi \sin\psi V^2 \mbox{d}k$
On déduit du tracé que :

$\begin{displaymath} \mbox{d}\vec F_{moy} \cdot \vec y = 0 \quad\Longrightarrow\quad \vec F_{moy} \cdot \vec y = 0 \end{displaymath}$

La composante de $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec z$ est pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ :

$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F \cdot \vec z &=& \mbox{d}P_1 + \mbox{d}P_2 = f... ...+ \frac 1 4 ( \cos\psi + \sqrt 3 \sin\psi )^2 \right) \mbox{d}k \end{eqnarray*}$


$\begin{figure}\begin{center}\setlength{\unitlength}{0.240900pt} \ifx\plotpoin... ...int}} \put(1439,468){\usebox{\plotpoint}} \end{picture} \end{center}\end{figure}$	Evolution de la force suivant $\vec z$ : sur ce graphe, il faut voir la courbe sur les pales 1 et 2 pour $\psi \in \left[ \frac{3\pi} 6 ; \frac{5\pi} 6 \right]$ puis la courbe sur la pale 1 pour $\psi \in \left[ \frac{5\pi} 6 ; \frac{7\pi} 6 \right]$ : on remarque la continuité des 2 courbes en $\frac{5\pi} 6$ .