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Force

Il faut alors faire la somme des forces élémentaires sur tout le boomerang. Pour effectuer cette somme regroupons les forces élémentaires exercées sur chacune des 3 pales :

 $$\mbox{d}\vec F = \mbox{d}\vec F_1 + \mbox{d}\vec F_2 + \mbox... ...+ \mbox{d}P_2 \vec z + \mbox{d}P_3 \vec z + \mbox{d}P_4 \vec z$$

projettons dans la base  $(\vec x,\vec y,\vec z)$ :

 $$\displaylines{ \vec e_{\theta_1} = - \vec e_{\theta_3} = \lef... ...os\psi \\ -\sin\psi \\ \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y)} }$$

soit pour la force élémentaire sur les 4 pales :

 $$\mbox{d}\vec F = \left(\begin{array}{c} (\mbox{d}T_1 - \mbox... ...}P_3 + \mbox{d}P_4 \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y,\vec z)}$$

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec x$ est calculée par :

 $$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F \cdot \vec x &=& (\mbox{d}T_1 - \mbox{d}T_3 ) \... ...F \cdot \vec x &=& \frac 1 2 \rho C_x 4 \Omega V r \> \mbox{d}S \end{eqnarray*}$$

On remarque essentiellement que cette composante de force est constante sur un tour (ne dépend pas de $\psi$).

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec y$ est calculée par :

 $$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec F \cdot \vec y &=& - (\mbox{d}T_1 - \mbox{d}T_3 )... ...s\psi + \left( 4\Omega r V \cos\psi \right) \sin\psi \\ &=& 0 \end{eqnarray*}$$

On remarque essentiellement que cette composante de force est nulle.

La composante de  $\mbox{d}\vec F$ sur $\vec z$ est calculée par :

 $$\begin{eqnarray*} \frac{\mbox{d}\vec F \cdot \vec z}{f \mbox{d}k} &=& V_{\infty\... ... &=& \frac 1 2 \rho C_z ( 4 \Omega^2 r^2 + 2 V^2 ) \> \mbox{d}S \end{eqnarray*}$$

On remarque essentiellement que cette composante de force élémentaire ne dépend pas de $\psi$ !

Nous avons obtenu la force élémentaire exercée sur l'ensemble des surfaces élémentaires analogues des 4 pales. Pour obtenir la force globale sur le quadripale il suffit d'intégrer chacune des composantes :

 $$\begin{eqnarray*} \vec F \cdot \vec x &=& \int_{r_0}^R \frac 1 2 \rho C_x 4 \Ome... ...\ &=& \frac 1 2 \rho C_z \left( 4 I \Omega^2 + 2 S V^2 \right) \end{eqnarray*}$$

où $I$, $A$, et $S$ désignent respectivement les moments quadratique et statique et la section d'une pale et $4I$, $4A$ et $4S$ les moments quadratique et statique et la section du quadripale.

On retrouve exactement les mêmes types d'expressions "moyennes" que pour un tripale.

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