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Moment en $O$

Le moment en $O$ de la force  $\mbox{d}\vec F_i$ possède une composante sur $\vec z$ qui provient de $\mbox{d}T_i$ et des composantes suivant $\vec x$ et $\vec y$ qui proviennent de $\mbox{d}P_i$ :

 $$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M_i(O) = -r \mbox{d}P_i \vec e_{\theta i} - r \mbox{d}T_i \vec z$$

et le moment en $O$ de la force élémentaire exercée sur l'ensemble des surfaces élémentaires analogues des 4 pales.

 $$\begin{eqnarray*} \mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O) = \sum_{i=1}^4 \mbox{d}\vec I ... ... e_{\theta i} + \vec z \> \mbox{d}k \sum_{i=1}^4 V_{\infty\>i}^2 \end{eqnarray*}$$

Effectuons les 2 sommes une à une :
la seconde :

 $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 V_{\infty\>i}^2 &=& (\Omega r + V \sin\psi)^2 +... ...ga^2 r^2 + 2V^2 (\sin^2\psi + \cos^2\psi) = 4\Omega^2 r^2 + 2V^2 \end{eqnarray*}$$

ce qui nous donne :

 $$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O) \cdot \vec z = -[ 4\Omega^2 ... ... 2 \rho C_x \left[ 4\Omega^2 r^2 + 2V^2 \right] r \> \mbox{d}S$$

la première :

 $$\begin{eqnarray*} \sum_{i=1}^4 V_{\infty\>i}^2 \vec e_{\theta i} &=& (\Omega r... ... \\ \end{array}\right)_{(\vec x,\vec y)} = - 4\Omega r V \vec x \end{eqnarray*}$$

Il n'y a donc pas de composante sur $\vec y$ (contrairement au tripale). Ce qui nous donne :

 $$\mbox{d}\vec I \kern-4.5pt M(O)\cdot\vec x = \frac 1 2 \rho C_z 4\Omega r^2 V \>\mbox{d}S$$

On peut alors déterminer le moment en $O$ de l'action de l'air sur l'ensemble du quadripale :

 $$\begin{eqnarray*} \vec I \kern-4.5pt M(O) &=& \int_{r_0}^R \mbox{d}\vec I \kern-... ... - \frac 1 2 \rho C_x \left[ 4\Omega^2 Q + 2V^2 A \right] \vec z \end{eqnarray*}$$

On remarque à  nouveau l'expression des moments "quintique" $Q$, quadratique $I$ et statique $A$ d'une pale $i$.