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Modèlisation de l'action air-boomerang

La modélisation de la force élémentaire exercée sur une surface élémentaire d'aire  $\mbox{d}S=c(r) \mbox{d}r$ de la pale $i$, de largeur $c(r)$, est identique :

 $$\left.\begin{array}{l} \mbox{d}\vec F_i = - \mbox{d}T_i \vec... ...x \> \mbox{d}S \\ [3mm] f = \frac{C_z}{C_x} \end{array}\right.$$

Avec une vitesse $V_{\infty\>i}$ différente pour chaque pale $i$ :

 $$V_{\infty\>i} = (\Omega r \vec e_{\theta\>i} - V \vec x)\cdot\vec e_{\theta\>i} = \Omega r - V \vec x\cdot\vec e_{\theta\>i}$$

où :

 $$\begin{eqnarray*} \vec x\cdot\vec e_{\theta\>1} &=& -\vec x\cdot\vec e_{\theta\>... ...Omega r - V \sin\psi \\ V_{\infty\>4} &=& \Omega r - V \cos\psi \end{eqnarray*}$$

Figure:Evolution de la vitesse de l'air par rapport à  la pale sur un tour de celle-ci et cela pour chacune des 4 pales mais aussi pour $r=10$ cm, $\Omega=20$ tr.s$^{-1}$ et $V=15$ m.s$^{-1}$

On remarque alors que $V_{\infty\>i}$ peut être négatif : cela signifie que ce n'est plus le bord d'attaque qui attaque l'air mais le bord de fuite ! Le modèle précédent est alors incorrect car il ne gère pas ce phénomène. En effet pour les profils où  $V_{\infty\>i}<0$, il faudrait écrire :

 $$\displaylines{ \mbox{d}\vec F_i = + \mbox{d}T_i \vec e_{\thet... ...{d}P_i = \frac 1 2 \rho \> \mbox{d}S \> C_z' V_{\infty\>i}^2 }$$

où $C_x'$ et $C_z'$ seraient les coefficients aérodynamiques du profil pris en sens inverse.

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