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Pale trapézoïdale : Argh !

 $$\displaylines{ \mbox{d}S = c(r) \> \mbox{d}r \quad\mbox{ où... ...0^4 -2c_0Rr_0^3 + 3cR^4 - c_0R^4 + c_0r_0^4 \right] \cr }$$

Cette expression étant compliquée, posons $c_0 = s c$ ($s>1$ : pale moins large à  l'extrémité, $0<s<1$ pale plus large à  l'extrémité).

 $$\displaylines{ \frac {2I} S = \frac 1 {3(R-r_0)^2} \left[ -... ... {(3-s)R^2} \stackrel{s = 1}{\longrightarrow} \frac 3 {2 R^2} }$$

On retrouve bien le résultat d'une pale rectangulaire en prenant un cas particulier de pale trapézoïdale.

En comparant les pales rectangulaire et trapézoïdale qui ont même surface mais 2 inerties différentes $I_R$ et $I_T$ on a, lorsque $r_0 \ll R$ (pour simplifier la comparaison) :

 $$\frac S {2I_R} = \frac 3 {2R^2} \quad\mbox{ et }\quad \frac S {2I_T} = \frac 3 {(3-s)R^2}$$

Et au vue de l'expression de $b$ :

 $$b = \frac 1 {\frac{\Omega} V + \frac {S}{2I}\frac {V}{\Omega}}$$

en comparant à $\Omega$ et $V$ identiques on a :

 $$\displaylines{ \left\{\begin{array}{l} \mbox{si $s>1$ pale mo... ...{2I_T} \quad\Longrightarrow\quad b_R < b_T \end{array}\right. }$$

D'où l'intérêt d'élargir la pale entre le centre du tripale et l'extrémité de la pale pour augmenter l'effet gyroscopique (attention à ce type de conclusion !).