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Nombre de Reynolds

Considérons un profil d'aile (cf FIG. 1) d'épaisseur $e$ et de corde $c$ telle que :

$$\frac e c =0.1259$$

et fabriquons-le pour 2 épaisseurs différentes donc pour 2 cordes différentes :

$$e_1 = 3.5 \mbox{ mm} \quad\Longrightarrow\quad c_1 \approx 2... ...ox{ mm} \quad\Longrightarrow\quad c_2 \approx 31.77 \mbox{ mm}$$

On a donc :

$$\frac{e_2}{c_2}=\frac{e_1}{c_1}=0.1259 \quad\Longrightarrow\... ...c{c_2}{c_1}=\frac{4.0}{3.5}=\frac{31.77}{27.80} \approx 1.1428$$

En soumettant, respectivement à ces 2 profils, un vent (air) de vitesse respective $V_1$ et $V_2$, chacun des 2 profils subit une force $\vec F_1$ et $\vec F_2$ qui possèdent chacunes des composantes de trainée ($T_1$ et $T_2$) et de portance ($P_1$ et $P_2$) ; De plus chacune des forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$ s'applique en un point bien précis (de chaque profil).

Osborne Reynolds (1883) a remarqué que si les vitesses de vent sont dans le rapport :

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{c_2}{c_1}=\frac{4.0}{3.5}=\frac{31.77}{27.80} \approx 1.1428$$

les forces $\vec F_1$ et $\vec F_2$ sont alors de même direction et possède le même point d'application sur le profil (cf FIG. 1) mais ne sont pas de même intensité. Leurs intensités (de la force globale ou d'une des composantes de portance ou trainée) sont proportionnelles :

 

$$\frac{F_1}{F_2} = \frac{P_1}{P_2} = \frac{T_1}{T_2} = \frac{c_1}{c_2} \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^2 = \frac{V_1}{V_2} \approx 1.1428$$ (1)

	Profil 2	Profil 1
vitesse	$V_2=8.49$ m.s$^{-1}$	$V_1=1.1428 V_2=9.71$m.s$^{-1}$
Portance par unité d'envergure *	$P_2=0.2562$ N.m$^{-1}$	$P_1=0.2928$ N.m$^{-1}$
Trainée par unité d'envergure *	$T_2=0.0634$ N.m$^{-1}$	$T_1=0.0724$ N.m$^{-1}$

* Les forces sont données par mètre d'envergure (longueur perpendiculaire au dessin) du profil.

Osborne Reynolds en conclue que lorsque l'on a réalisé des expériences [ou calcul par ordinateur] sur ce profil pour différentes vitesses, il n'est pas utile de refaire ces expériences sur le même profil coté différemment ...ce qui va faciliter le travail expérimental [et minimiser le nombre de calculs par ordinateur]. Une fois que l'on connait les résultats à une vitesse donnée sur ce profil pour une corde donnée, on peut en déduire les résultats à une autre vitesse _ mais pas n'importe laquelle _ pour une autre corde. 
Osborne Reynolds a définit un nombre qu'il a appelé nombre de Reynolds ${\cal R}$ qui permet de préciser un trinôme de valeurs : la corde $c$, la vitesse $V$ et également la viscosité cinématique du fluide $\nu$ [Osborne Reynolds a remarqué en faisant des expériences avec différents fluides (eau, air, huiles, ...) que la viscosité du fluide est aussi important que la corde et la vitesse] :

$${\cal R} = \frac{V c}{\nu}$$

Pour simplifier la suite, notre fluide est de l'air qui possède la viscosité cinématique $\nu=0.15\>10^{-4}$ m$^2.$s$^{-1}$$=0.15$ cm$^2.$s$^{-1}$.
On remarque que le nombre de Reynolds n'a pas d'unité : c'est un nombre sans dimension.

En examinant la relation $\frac{V_1}{V_2}=\frac{c_2}{c_1}$, on remarque que la comparaison précédentes des 2 profils (dans le même fluide) est réalisée au même nombre de Reynolds :

$$\frac{V_1}{V_2}=\frac{c_2}{c_1} \quad\Longrightarrow\quad V_... ...2 c_2}{\nu} \quad\Longrightarrow\quad {\cal R}_1 = {\cal R}_2$$

C'est d'ailleurs pour cela que les forces sont proportionnelles.

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